香港特别行政区2025年中考模拟(2)数学试卷(附答案)

一、选择题(共20题,共 100分)

1、椭圆的离心率为(  

A. B. C. D.

2、已知定义在上的函数满足:①图象关于点对称;②;③当时,,则函数在区间上的零点的个数为(       

A.6

B.5

C.4

D.3

3、将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,若上为增函数,则的最大值为

A. 3   B.   C. 2   D.

 

4、已知函数,则等于(       ).

A.

B.

C.

D.

5、用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,边平行于轴,平行于轴,已知四边形的面积为,则原四边形的面积为(       

A.12

B.

C.

D.3

6、若tan α=2,π<α,则cos 等于(       

A.

B.

C.

D.

7、如图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有侧棱中,最长的侧棱长为(       

A.

B.

C.

D.

8、沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,为半径的圆弧,C的中点,D上,.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式:,记实际弧长为l.当时,的值约为(       )(参考数据:

A.0.01

B.0.05

C.0.13

D.0.53

9、命题,则方程有实根及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题个数为(  

A. B. C. D.

10、已知甲船位于小岛的南偏西处,乙船位于小岛处,千米,甲船沿的方向以每小时千米的速度行驶,同时乙船以每小时千米的速度沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为(  

A.小时 B.小时 C.小时 D.小时

11、化简的结果为(   )

A. B. C.0 D.

12、已知函数为偶函数,在单调递减,且在该区间上没有零点,则的取值范围为(       

A.

B.

C.

D.

13、       

A.

B.

C.

D.

14、将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为(       

A.54

B.45

C.5×4×3×2

D.5

15、在正方体中,直线与直线的位置关系为(       

A.相交

B.异面

C.平行

D.不确定

16、是非零向量,则成立的(       

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

17、函数的图象关于(       )对称.

A.

B.直线

C.坐标原点

D.直线

18、如图,在平面四边形中,,三角形的面积为,则       

A.2

B.4

C.

D.

19、已知函数同时满足以下两个条件:①对任意实数x,都有;②对任意实数,当时,都有.则函数的解析式可能为(       

A.

B.

C.

D.

20、,则下列结论正确的是(       

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共6题,共 30分)

21、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶300m后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度CD=______m

22、首项为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为,现有下列4个命题:

也是等差数列;

②数列也是等差数列;

③若,则时,最大;

④若的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,则此数列的项数是19.

其中所有真命题的序号是_____________

23、若关于的方程恰有三个不同的解,则实数的取值范围为______.

24、已知正实数满足,则的最大值为___________

25、,且,则__________.

26、已知为椭圆E的左、右焦点,斜率为的直线与椭圆E交于为BP,若以为直径的圆过点,则椭圆E的离心率为______.

三、解答题(共6题,共 30分)

27、我们曾用组合模型发现了组合恒等式,这里所使用的方法,实际上是将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同来得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫做“算两次”,对此,我们并不陌生,例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.

(1)某医院有内科医生8名,外科医生)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,已知某内科医生必须参加的选法有66种,求的值;

(2)化简:

28、2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率,为庆祝该节日,某校举办数学趣味知识竞赛活动,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在,分数在分别获二等奖和一等奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图.

(1)填写下面的列联表,能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?

 

文科生

理科生

合计

获奖

5

 

 

不获奖

 

 

 

合计

 

 

200

(2)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人,再从这4人中任意选取2人,求2人均获二等奖的概率.

临界值表:

参考格式:,其中

29、已知等差数列的前项和为,若.

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列,求数列的前项和.

30、已知的三个顶点分别为.

(1)求边的垂直平分线的方程;

(2)求的面积.

31、某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.

 

(1)求的值;

(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关?

(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)

列联表                           

 

男性

女性

合计

消费金额

 

 

 

消费金额

 

 

 

合计

 

 

 

临界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

,其中

32、在①;②;③)三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.

问题:已知数列中,,__________.

(1)求

(2)若数列的前项和为,证明:

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